Question

如图，P是线段AB外一点，作∠PAC=90°，且AC=AP，作∠PBD=90°，且BD=PB，E为CD的中点．求证：△EAB为等腰直角三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：如图，作辅助线，构造全等三角形，证明EA=EB；借助全等三角形的性质及三角形的内角和定理等知识，计算∠AEB的度数问题即可解决．

解答：证明：连接PC、PD；取PC、PD的中点F、G；
连接EF、EG；AF、BG；
∵∠CAP=90°，AC=AP，
∴AF⊥PF，AF=

1

2

PC；
同理可证BG⊥PD，BG=

1

2

PD；
∴∠AFP=∠BGP=90°；
∵E、F分别是线段CD、CP的中点，
∴EF∥PD，EF=

1

2

PD；
同理可证EG∥PC，EG=

1

2

PC，
∴AF=EG，EF=BG；四边形EFPG是平行四边形，
∴∠EFP=∠EGP；
∴∠EFA=∠BGE；
在△EFA与△BGE中，

EF=BG ∠EFA=∠BGE AF=EG

，
∴△EFA≌△BGE（SAS），
∴EA=EB，∠FEA=∠EBG；
∠FEA+∠GEB=∠GEB+∠EBG；
∵EF∥PD，EG∥PC，
∴∠CEF=∠CDP（设为α），∠DEG=∠DCP（设为β），
∴∠CEF+∠DEG=α+β，∠EGP=α+β，
∠FEA+∠GEB=∠GEB+∠EBG=180°-90°-（α+β）
=90°-（α+β）；
∴∠AEB=180°-（∠FEA+∠GEB）-（∠CEF+∠DEG）
=180°-90°+（α+β）-（α+β）
=90°；而EA=EB，
∴△EAB为等腰直角三角形．

点评：该题在考查全等三角形的判定及其性质的同时，还渗透了对平行四边形的判定、三角形的内角和定理等知识点的考查；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．