Question

3．已知：如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，O，M，N分别为AB，AD，BE的中点，连接OM，ON，MN．
（1）求证：OM=ON，OM⊥ON．
（2）将图1中△CDE绕点C逆时针旋转得图2，记旋转角为α（0°＜α＜180°）．已知BC=2CD=6，求在旋转过程中线段MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图1，根据AC=BC，CD=CE，M，N分别为AD，BE的中点，利用等线段代换可证明AM=CN，再根据三角形三角形斜边上的中线性质得到OC=OA，∠BOC=∠A=45°，∠AOC=90°，于是可根据“SAS”判断△OCN≌△OAM，则ON=OM，∠CON=∠AOM，然后证明∠MON=90°得到OM⊥ON；
（2）连结BD，如图2，先判断△OMN为等腰直角三角形得到MN=$\sqrt{2}$OM，再判断OM为△ABD的中位线得到OM=$\frac{1}{2}$BD，则MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，所以当BD的长最小时，MN的长最小，由于点D在以C点为圆心，CD为半径的圆上，则可判断点B到⊙C的最短距离就是BD的最小值，此时点D在BC上，所以BD的最小值为3，则MN的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

解答 （1）证明：连结OC，如图1，
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵M，N分别为AD，BE的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$（AC-CD）=$\frac{1}{2}$（BC-CE）=$\frac{1}{2}$（BN+CN-CE）=$\frac{1}{2}$（NE+CN-CE）=$\frac{1}{2}$（NC+CE+CN-CE）=CN，
∵点O为等腰直角三角形斜边AB的中点，
∴OC=OA，∠BOC=∠A=45°，∠AOC=90°，
在△OCN和△OAM中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OA}\\{∠OCN=∠A}\\{CN=AM}\end{array}\right.$，
∴△OCN≌△OAM，
∴ON=OM，∠CON=∠AOM，
∵∠AOM+∠COM=90°，
∴∠COM+∠CON=90°，即∠MON=90°，
∴OM⊥ON；
（2）解：连结BD，如图2，
∵OM=ON，∠MON=90°，
∴△OMN为等腰直角三角形，
∴MN=$\sqrt{2}$OM，
∵点O、M分别为AB、AD的中点，
∴OM为△ABD的中位线，
∴OM=$\frac{1}{2}$BD，
∴MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，
当BD的长最小时，MN的长最小，
∵点D在以C点为圆心，CD为半径的圆上，
∴点B到⊙C的最短距离就是BD的最小值，此时点D在BC上，
∵BC=2CD=6，
∴BD的最小值为3，
∴MN的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是灵活应用等腰直角三角形的性质．