Question

7．如图，正方形纸片ABCD的边长为$\sqrt{2}$，对角线相交于点O，第一次将纸片折叠，使点A与点O重合，折痕与AO交于点P₁；设P₁O的中点为O₁，第2次将纸片折叠，使点A与点O₁重合，折痕与AO交于点P₂；设P₂O₁的中点为O₂，第3次将纸片折叠，使点A与点O₂重合，折痕与AO交于点P₃；…；设P_n-1O_n-2的中点为O_n-1，第n次将纸片折叠，使点A与O_n-1重合，折痕与AO交于点P_n（n＞2），则AP_n的长为$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^n-1．

Answer 1

分析 先根据正方形的性质得到AO的长，再根据折叠的性质，依次得出AP₁=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^1-1；AP₂=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^2-1；AP₃=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^3-1；据此可得规律AP_n=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^n-1．

解答 解：∵正方形纸片ABCD的边长为$\sqrt{2}$，对角线相交于点O，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，
由题可得：
AP₁=P₁O=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^1-1；
∵P₁O₁=O₁O=$\frac{1}{2}$P₁O=$\frac{1}{4}$，
∴AO₁=AO-O₁O=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴AP₂=P₂O₁=$\frac{1}{2}$AO₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^2-1；
∵P₂O₂=O₂O₁=$\frac{1}{2}$P₂O₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{8}$=$\frac{3}{16}$，
∴AO₂=AO₁-O₂O₁=$\frac{3}{4}$-$\frac{3}{16}$=$\frac{9}{16}$，
∴AP₃=P₃O₂=$\frac{1}{2}$AO₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{16}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^3-1；
…
由此可得，AP_n=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^n-1，
故答案为：$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$）^n-1．

点评 本题考查了图形的翻折变换，正方形的性质以及勾股定理的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．