题目内容
【题目】已知抛物线
，
，
，…，
（n为正整数），点A(0，1)．
（1）如图1，过点A作y轴垂线，分别交抛物线
，
，
，…，
于点
，
，
，…，
（和点A不重合）．
①求
的长．
②求
的长．
（2）如图2，点P从点A出发，沿y轴向上运动，过点P作y轴的垂线，交抛物线于点
，
，交抛物线于点
，
，交抛物线于点
，
，……，交抛物线于点
，
（在第二象限）．
①求
的值．
②求
的值．
（3）过x轴上的点Q（原点除外），作x轴的垂线分别交抛物线，，，…，于点
，
，
，…，
，是否存在线段
（i，j为正整数），使
，若存在，求出i＋j的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）①1；②2020；（2）①1；②2020；（3）存在，最小值是2022
【解析】
（1）①利用函数解析式可得到抛物线的顶点坐标，再根据二次函数的对称性，可得点P1的横坐标，从而可求出AP1的值；②求出y2＝x2＋2x＋1的对称轴，利用二次函数的性质，就可得到点P2的横坐标，即可求出AP2的值，同理可得到AP3的值，根据其规律可得到AP2020的值；
（2）①设点C1的横坐标为x1，点D1的横坐标为x2，可得到PC1＝－x1，PD1＝x2，从而可表示出PC1－PD1，利用二次函数的对称性可得到x1＋x2＝－1，代入计算可求解；②利用同样的方法求出PC2－PD2的值，根据其规律可得到PC2020－PD2020的值；
（3）设点Q(x，0)，可得到OQ的长，再利用已知条件及函数解析式，分别求出E1E2＝OQ，E1E3＝2OQ，E1E4＝3OQ，根据其规律可得到E1En＝（n－1）OQ，再由
， 就可求出i和j的值，然后求和即可.
（1）解：①
，
∴抛物线y1的顶点坐标为
，
∵AP1∥x轴，
∴点A和点P1关于对称轴对称，
∴点P1的横坐标为
，
∴点P1
，
∴AP1＝|－1－0|＝1；
②∵y2＝x2＋2x＋1的对称轴为直线
， 点P2的横坐标为－2，
∴AP2＝|－2－0|＝2；
同理可知：AP3＝3，
……
AP2020＝2020；
（2）解：①设点C1的横坐标为x1，点D1的横坐标为x2，
∴PC1＝－x1， PD1＝x2，
∴PC1－PD1＝－x1－x2＝－（x1＋x2），
抛物线y＝x2＋x＋1对称轴为直线x＝
， 点C1和点D1关于对称轴对称，
∴
，
∴x1＋x2＝－1，
PC1－PD1＝－（－1）＝1；
②设点C2的横坐标为x1，点D2的横坐标为x2，
∴PC1＝－x1，PD1＝x2，
∴PC2－PD2＝－x1－x2＝－（x1＋x2），
抛物线y＝x2＋2x＋1对称轴为直线x＝－
∴
，
∴x1＋x2＝－2，
∴PC2－PD2＝－（－2）＝2；
……
PC2020－PD2020＝－（－2020）＝2020；
（3）解：设点Q（x，0）
∴OQ＝－x，
∴E1E2＝x2＋x＋1－（x2＋2x＋1）＝－x＝OQ，
E1E3＝x2＋x＋1－（x2＋3x＋1）＝－2x＝2OQ，
E1E4＝x2＋x＋1－（x2＋4x＋1）＝－3x＝3OQ，
E1En＝x2＋x＋1－（x2＋nx＋1）＝－（1－n）x＝（n－1）OQ，
∵，
∴EiEj＝2020OQ，
∴i＝1，j＝2020＋1＝2021，
∴i＋j的最小值为1＋2021＝2022.
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【题目】欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 | 三棱锥 | 三棱柱 | 正方体 | 正八面体 |
图形 |
|
|
|
|
顶点数V | 4 | 6 | 8 | |
棱数E | 6 | 12 | ||
面数F | 4 | 5 | 8 |
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
