Question

【题目】如图（1）已知矩形在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，动点以每秒2个单位长度的速度沿运动（点不与点、点重合），设运动时间为秒．

（1）求经过、、三点的抛物线解析式；

（2）点在（1）中的抛物线上，当为中点时，若，求点的坐标；

（3）当点在上运动时，如图（2）过点作，轴，垂足分别为、，设矩形与重叠部分面积为，求与的函数关系式，并求出的最大值；

（4）如图（3）点在（1）中的抛物线上，是延长线上的一点，且、两点均在第三象限内，、是位于直线同侧的不同两点，若点到轴的距离为，的面积为，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点或；（3），当时，最大；（4）

【解析】

（1）由直角三角形的性质可求点C，点D坐标，由待定系数法可求解析式；
（2）由全等三角形的性质可得DM=AM，PD=AP，可得点P在AD的垂直平分线上，可求点P的纵坐标，代入可求解；
（3）由题意可证△ACB是等边三角形，可得CM=2t-4，BF=（8-2t）=4-t，MF=- t，AF=t，即可求重叠部分面积，由二次函数的性质可求解；
（4）先求出直线AC，BP的解析式，即可求点P坐标．

解：（1）∵四边形是矩形，

∴，，且，，

∴，

∴点，点，

设抛物线解析式为，代，

∴，

解得：，

∴抛物线解析式为；

（2）∵为中点，

∴，

∵△PAM≌△PDM，

∴，

∴点在的垂直平分线上，

∴点纵坐标为，

∴，

∴，，

∴点或；

（3）如图2，∵，，

∴，，

∴△ACB是等边三角形，

由题意可得：，，，．

∵四边形是矩形，

∴，，，

∴，，

∴△CMH是等边三角形，

∴，

∵，

当时，最大；

（4）∵，又，

∴，

∴，

设直线解析式为，把，代入其中，

得，

∴，

∴直线解析式为：，

设直线的解析式为，

把代入其中，得，

∴，
∴直线解析式为：，

∴，

∴（舍去），，

∴．