Question

6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=mx²+4x+1．
（1）当抛物线C经过点A（-5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）当直线y=-x+1与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称时，求m的值；
（3）若抛物线C：y=mx²+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-1和0之间（不包括-1和0），结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点A（-5，6）代入抛物线y=mx²+4x+1求出m的值，即可得出抛物线的表达式与顶点坐标；
（2）先求出直线y=-x+1与直线y=x+3的交点，即可得出其对称轴，根据抛物线的对称轴方程求出m的值即可；
（3）根据抛物线C：y=mx²+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-1和0之间可知当x=-1时，y＞0，且△≥0，求出m的取值范围即可．

解答 解：（1）∵抛物线C：y=mx²+4x+1经过点A（-5，6），
∴6=25m-20+1，解得m=1，
∴抛物线的表达式为y=x²+4x+1=（x+2）²-3，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，-3）；

（2）∵直线y=-x+1与直线y=x+3的交点为（-1，2），
∴两直线的对称轴为直线x=-1．
∵直线y=-x+1与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称，
∴-$\frac{4}{2m}$=-1，解得m=2；

（3）∵抛物线C：y=mx²+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-1和0之间，
∴当x=-1时，y＞0，且△≥0，即$\left\{\begin{array}{l}m-4+1＞0\\△=16-4m≥0\end{array}\right.$，解得3＜m≤4．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．