Question

16．任△ABC中，AD是BC边上的高，AD=$\sqrt{3}$，AC=2，S_△ABC=2$\sqrt{3}$，则tan∠ABC的值为$\frac{\sqrt{3}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 首先利用三角形面积公式求出BC，分两种情形①当高在△ABC外部时．②当高在△ABC内部时．画出图形，即可解决问题．

解答 解：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AD，
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$•BC•$\sqrt{3}$，
∴BC=4，
如图①当高在△ABC外部时在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=1，
∴在Rt△ABD中，tanABC=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
②当高在△ABC内部时，BC′=4，DC′=1，BD=3，
∴tan∠ABC=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查解直角三角形、锐角三角函数、三角形的面积等知识，解题的关键是注意一题多解，三角形的高可能在三角形外，也可能想三角形内部，属于中考常考题型．