Question

5．从-3、-2、-1、1、2、3中随机选出一个数，记为m，则使二次函数y=-$\frac{1}{4}（x+2）^{2}+3$在-6≤x＜m时有最小值-1，最大值3，且关于x方程mx²+x-2=0有解的概率为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 首先由二次函数的最值问题，求得-2＜m≤2；又由关于x方程mx²+x-2=0有解，求得m的取值范围，继而求得m=1或2，再利用概率公式即可求得答案．

解答 解：∵使二次函数y=-$\frac{1}{4}（x+2）^{2}+3$的最大值3，
即当x=-2时，y取最大值3，
∴m＞-2，
∵使二次函数y=-$\frac{1}{4}（x+2）^{2}+3$在-6≤x＜m时有最小值-1，
∴-$\frac{1}{4}（x+2）^{2}+3$=-1，
解得：x₁=2，x₂=-6，
∴m≤2，
∴当-2＜m≤2时，使二次函数y=-$\frac{1}{4}（x+2）^{2}+3$在-6≤x＜m时有最小值-1，最大值3；
∵关于x方程mx²+x-2=0有解，
∴△=1-4×m×（-2）=8m+1≥0，
解得：m≥-$\frac{1}{8}$，
综上，-$\frac{1}{8}$≤m≤2，
∴m=1，2，
∴使二次函数y=-$\frac{1}{4}（x+2）^{2}+3$在-6≤x＜m时有最小值-1，最大值3，且关于x方程mx²+x-2=0有解的概率为：$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 此题考查了概率公式的应用、二次函数的最值以及一元二次方程的根的判别式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．