Question

8．若二次函数y=（x+a）（bx+2a）（常数a，b为实数）的图象关于y轴对称，且它的最大值为4，则该函数的表达式为y=（x+$\sqrt{2}$）（-2x+2$\sqrt{2}$）或y=（x-$\sqrt{2}$）（-2x-2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 令y=0代入二次函数中即可求出该二次函数与x轴的两个交点，从而可求出对称轴的表达式，由于该二次函数的图象关于y轴对称，从而列出方程-ab-2a=0，然后对a进行讨论，即可求出a与b的值．

解答 解：令y=0代入y=（x+a）（bx+2a），
∴0=（x+a）（bx+2a），
∵b≠0，
∴x=-a，x=$\frac{-2a}{b}$，
∴该抛物线的对称轴为：$\frac{-a-\frac{2a}{b}}{2}$=$\frac{-ab-2a}{2b}$
∵二次函数的图象关于y轴对称，
∴$\frac{-ab-2a}{2b}$=0，
∴-ab-2a=0，
当a=0时，
此时二次函数的解析式为：y=bx²，
令x=0代入y=bx²
∴y=0，但该二次函数的最大值为4，
故此情况不符合题意
当a≠0时，
∴b=-2，
此时二次函数的解析式为：y=（x+a）（-2x+2a）
令x=0代入y=（x+a）（-2x+2a），
∴y=2a²，
∵该二次函数的最大值为4，
∴a²=2，
∴a=±$\sqrt{2}$
∴二次函数的解析式为：y=（x+$\sqrt{2}$）（-2x+2$\sqrt{2}$）或y=（x-$\sqrt{2}$）（-2x-2$\sqrt{2}$）
故答案为：y=（x+$\sqrt{2}$）（-2x+2$\sqrt{2}$）或y=（x-$\sqrt{2}$）（-2x-2$\sqrt{2}$）

点评 本题考查二次函数的解析式，解题的关键是根据对称轴求出b的值，再根据最值求出a的值，本题属于中等题型．