Question

9．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，CE平分△ABC的外角∠ACM，点在BC上，连接AD、DE，如果∠ADE=60°，求证：AD=DE．
（2）如果△ABC为任意三角形，且∠ACB=60°，其他条件不变，这个结论还成立吗？说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明A、D、C、E四点共圆，即可得到∠ECM=∠DAE=60°，∠AED=∠ACB=60°，所以∠DAE=∠DEA由此解决问题．
（2）证明类似（1），先证明A、D、C、E四点共圆，再证明∠DAE=∠DEA即可．

解答 （1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACM=120°，
∴CE平分∠ACM，
∴∠ACE=∠ECM=60°，
∵∠ADE=60°，∠ACE=60°，
∴∠ADE=∠ACE，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠ECM=∠DAE=60°，∠AED=∠ACB=60°，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE．
（2）结论成立．DA=DE．
理由：如图2中，连接AE，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=180°-∠ACB=120°，
∴CE平分∠ACM，
∴∠ACE=∠ECM=60°，
∵∠ADE=60°，∠ACE=60°，
∴∠ADE=∠ACE，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠ECM=∠DAE=60°，∠AED=∠ACB=60°，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE．

点评 本题考查四点共圆，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是发现A、D、C、E四点共圆，掌握圆内接四边形的性质，题目有点难度．