Question

9．如图，圆中的弦AB与弦CD垂直于点E，点F在$\widehat{BC}$上，$\widehat{AC}$=$\widehat{BF}$，直线MN过点D，且∠MDC=∠DFC，求证：直线MN是该圆的切线．

Answer 1

分析 利用同弧所对的圆周角相等的出∠AOC=∠BOF，再用同角的余角相等，即可判断出垂直，即可．

解答 证明：设该圆的圆心为点O，

在⊙O中，∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BF}$，
∴∠AOC=∠BOF．
又∠AOC=2∠ABC，∠BOF=2∠BCF，
∴∠ABC=∠BCF．
∴AB∥CF．
∴∠DCF=∠DEB．
∵DC⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠DCF=90°．
∴DF为⊙O直径．
且∠CDF+∠DFC=90°．
∵∠MDC=∠DFC，
∴∠MDC+∠DFC=90°．
即  DF⊥MN．
又∵MN过点D，
∴直线MN是⊙O的切线．

点评 此题是切线的判定，主要考查了圆的性质，垂直的判断方法，同角的余角相等，得出DF是直径是解本题的关键．