Question

1．如图1，将宽为m，长是宽的2倍的长方形沿虚线剪开，得到四个直角三角形，这四个直角三角形可以拼成一个如图2的大正方形．
（1）图1中的长方形的面积和图2中的正方形的面积的关系是：相等；
（2）当m=2和m=3时，分别求图2中大正方形的边长；
（3）通过（2）问猜想图2中的大正方形的边长n与图1中长方形的宽m有何关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）先求出长方形的面积，由剪开和拼图知，图2中大正方形的边长为$\sqrt{2}$m，即可得出正方形的面积即可；
（2）利用（1）的结论直接代值即可；
（3）同（1）的方法得出结论．

解答 解：（1）如图，由题意知，AB=CD=m，AD=BC=2m，
∴S_{长方形ABCD}=AB×BC=m×2m=2m²；
∵宽为m，长是宽的2倍的长方形沿虚线剪开，得到四个直角三角形，
此四个直角三角形全等的等腰直角三角形，
∴斜边是长方形的宽的$\sqrt{2}$倍；
∴AN=DN=$\sqrt{2}$m，
拼成如图2所示的四边形，此四边形是正方形，边长为$\sqrt{2}$m；
∴EO=FO=GO=HO=$\sqrt{2}$m，
∴EG=FH=2$\sqrt{2}$m，
∴S_{正方形EFGH}=$\frac{1}{2}$EG×FH=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$m×$\sqrt{2}$m=2m²，
∴S_{长方形ABCD}=S_{正方形EFGH}，
故答案为：相等；
（2）由（1）知，图2中大正方形的边长为EF=$\sqrt{2}$m，
当m=2时，图2中大正方形的边长为EF=$\sqrt{2}$m=2$\sqrt{2}$，
当m=3时，图2中大正方形的边长为EF=$\sqrt{2}$m=3$\sqrt{2}$，
（3）n=$\sqrt{2}$m，
理由：∵宽为m，长是宽的2倍的长方形沿虚线剪开，得到四个直角三角形，
此四个直角三角形全等的等腰直角三角形，
∴斜边是长方形的宽的$\sqrt{2}$倍；
图2中是以图1剪开的四个全等的等腰直角三角形的斜边为边．
∴n=$\sqrt{2}$m，

点评 此题是四边形综合题，主要考查了长方形的性质，正方形的性质和面积公式，勾股定理，剪图和拼图问题，解本题的关键是图1中的量到图2中的量之间的关系．