Question

19．如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB=60°，OC=6，则PD=3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PD，根据角平分线的定义可得∠AOP=∠BOP，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OPC=∠AOP，然后求出∠BOP=∠OPC，根据等角对等边可得PC=OC，然后通过解直角△PCE求得PE的长度即可．

解答 解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA
∴PE=PD，
∵OP是∠AOB的角平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠BOP=30°，
∵PC∥OA，
∴∠OPC=∠AOP，
∴∠BOP=∠OPC=30°，
∴PC=OC=6，∠PCE=60°．
∴PE=OC•sin60°=3$\sqrt{3}$．
∴PE=PD=3$\sqrt{3}$
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．