Question

4．如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC至点D，使CD=AC，连接AD交⊙O交于点E，连接BE，CE．
（1）求证：AE=CE；
（2）若CE∥AB，求证：DE²=AE•AD．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠CAD=∠ADC，∠ABC=∠ACB再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠ADC=∠DBE，进而得出∠EBD=∠ADC=∠ABE，即可得出结论；
（2）由CE∥AB得出，$\frac{DE}{AD}=\frac{CE}{AB}$，再用等量代换即可．

解答 解：（1）∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC，
∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD，
∵∠CAD=∠EBC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴AE=CE
（2）∵CE∥AB，
∴△DCE∽△DBA，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{CE}{AB}$，
由（1）知，AE=CE，
∵AB=AC=CD，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{AE}{DE}$，
∴DE²=AE•AD．

点评 此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，角平分线的性质，解本题的关键是得出∠ABC=2∠EBC．