Question

13．如图，在平面直角坐标系中，点B（a，a）在第一象限内，且a是关于x的方程$\frac{x-1}{2}$+a=4的解，且BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C
（1）求△AOB的面积；
（2）若E为线段OC上的一点，连EA，G是线段AE的中点，连BG、CG，猜想：∠BGC与∠OCG的数量关系，并验证你的猜想；
（3）如图2，若E为OC延长线上一点，连BE，作BF⊥BE交x轴于F，连EF，作∠OEF的平分线交OB于Q，过Q作QH⊥EF于H，下列两个式子：①$\frac{1}{2}$EF-QH；②$\frac{1}{2}$EF+QH，中有一个结果为定值，请找出并求出其定值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的解的定义，求出a，可得点B坐标，即可求出△AOB的面积．
（2）结论：∠BGC=2∠OCG．如图1中，作GM⊥BC于M．只要证明GC=GM，即可推出∠MGC=∠MGB，由MG∥OC，推出∠MGC=∠GCO，推出∠CGB=2∠OCG．
（3）结论：②是定值．由△BCE≌△BAF，推出EC=AF，推出OE+OF=OC+CE+OA-AF=2OA=6，由OB平分∠FOE，QE平分∠OEF，推出点Q是△EOF的内心，由QH⊥EF，QN⊥EO，QP⊥OF，推出QH=QN=QP=$\frac{OE+OF-EF}{2}$，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵a是关于x的方程$\frac{x-1}{2}$+a=4的解，
∴$\frac{a-1}{2}$+a=4，
∴a=3，
∴B（3，3），
∵BA⊥x轴，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$．

（2）结论：∠BGC=2∠OCG．
理由：如图1中，作GM⊥BC于M．

∵四边形ABCO是正方形，
∴AB∥OC，BC∥OA，
∵EG=GA，GM∥CE∥AB，
∴CM=MB，
∴GC=GB，
∴∠MGC=∠MGB，
∵MG∥OC，
∴∠MGC=∠GCO，
∴∠CGB=2∠OCG．

（3）结论：②是定值．
理由：如图2中，作QP⊥OA于P，QN⊥OC于N．

∵∠EBF=∠CBA=90°，
∴∠EBC=∠ABF，
在△BCE和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠BAF}\\{∠EBC=∠ABF}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BAF，
∴EC=AF，
∴OE+OF=OC+CE+OA-AF=2OA=6，
∵OB平分∠FOE，QE平分∠OEF，
∴点Q是△EOF的内心，
∵QH⊥EF，QN⊥EO，QP⊥OF，
∴QH=QN=QP=$\frac{OE+OF-EF}{2}$，
∴QH=$\frac{EO+OF}{2}$-$\frac{1}{2}$EF，
∴$\frac{1}{2}$EF+QH=$\frac{EO+OF}{2}$=3=定值．

点评 本题考查三角形综合题、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的内切圆半径等知识，解题的关键是记住直角三角形内切圆半径r=$\frac{a+b-c}{2}$，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．