Question

8．四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=120°，AB=BC=k•CD

（1）如图，连接AC，求证：AC⊥DC；
（2）如图，对角线AC、BD交于G．若AG=4GC，求k的值；
（3）若BC上存在唯一的点P，使∠APD=120°，直接写出此时k的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形ABC的顶角求得底角的度数，即可得出∠ACD=90°；
（2）先过点B作BE⊥AC于E，则∠AEB=90°，∠ABE=60°，设CD=1，则AB=BC=k，根据∠BAE=30°，求得CG=$\frac{1}{5}$AC=$\frac{1}{5}\sqrt{3}$k，EG=AG-AE=$\frac{3}{10}\sqrt{3}$k，再根据△BEG∽△DCG，得出$\frac{EG}{CG}$=$\frac{BE}{DC}$，即$\frac{\frac{3}{10}\sqrt{3}k}{\frac{1}{5}\sqrt{3}k}$=$\frac{\frac{1}{2}k}{1}$，解方程求得k=3即可；
（3）先根据∠BAP=∠DPC，∠B=∠C=120°，判定△ABP∽△PCD，得到$\frac{PC}{AB}=\frac{CD}{BP}$，再设CD=1，BP=x，则AB=BC=k，PC=k-x，进而得出$\frac{k-x}{k}=\frac{1}{x}$，即x²-kx+k=0，要使点P是唯一的，则方程x²-kx+k=0有两个相等的实数根，据此得出△=k²-4k=0，求得k=4．

解答 解：（1）∵∠ABC=∠BCD=120°，AB=BC，
∴△ABC中，∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=120°-30°=90°，
∴AC⊥CD；

（2）如图1，过点B作BE⊥AC于E，则∠AEB=90°，∠ABE=60°，
∴∠BAE=30°，
∴Rt△ABE中，BE=$\frac{1}{2}$AB，AE=CE=$\sqrt{3}$BE，
设CD=1，则AB=BC=k，
∴BE=$\frac{1}{2}$k，AE=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$k=CE，
∴AC=$\sqrt{3}$k，
又∵AG=4GC，
∴AG=$\frac{4}{5}$AC=$\frac{4}{5}\sqrt{3}$k，CG=$\frac{1}{5}$AC=$\frac{1}{5}\sqrt{3}$k，
∴EG=AG-AE=$\frac{4}{5}\sqrt{3}$k-$\frac{1}{2}\sqrt{3}$k=$\frac{3}{10}\sqrt{3}$k，
∵BE∥CD，
∴△BEG∽△DCG，
∴$\frac{EG}{CG}$=$\frac{BE}{DC}$，即$\frac{\frac{3}{10}\sqrt{3}k}{\frac{1}{5}\sqrt{3}k}$=$\frac{\frac{1}{2}k}{1}$，
化简，得$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$k，
∴k=3；

（3）如图2，∵∠APD=120°，
∴∠APB+∠DPC=60°，
又∵∠B=120°，
∴∠APB+∠BAP=60°，
∴∠BAP=∠DPC，
 又∵∠B=∠C=120°，
∴△ABP∽△PCD，
∴$\frac{PC}{AB}=\frac{CD}{BP}$，
设CD=1，BP=x，则AB=BC=k，PC=k-x，
∴$\frac{k-x}{k}=\frac{1}{x}$，即x²-kx+k=0，
要使点P是唯一的，则方程x²-kx+k=0有两个相等的实数根，
∴△=k²-4k=0，
解得k=4或0，
又∵k＞0，
∴k=4．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及一元二次方程根与系数的关系的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形和直角三角形，运用相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行计算求解．解题时注意：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．