Question

7．如图，在?ABCD中．E，F分别是AD，CD上，AF与CE交于点O，有下列命题：
①如果S_△ABF=S_△BEC，那么AF=CE；
②如果AF=CE，那么S_△ABF=S_△BEC
③如果AF=CE，那么∠AOB=∠BOC；
④如果∠AOB=∠BOC，那么AF=CE．
其中正确的命题的序号是②③④．

Answer 1

分析 根据三角形面积公式和平行四边形的面积公式易得S_△ABF=S_△BEC=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，则可对①②解析判断；过点B作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，如图，利用三角形面积公式得S_△ABF=$\frac{1}{2}$AF•BM，S_△BEC=$\frac{1}{2}$CE•BN，若AF=CE，则BM=BN，根据角平分线性质定理的逆定理得到OB平分∠AOC，则可对③解析判断；当∠AOB=∠BOC，根据角平分线性质定理得到BM=CN，然后由S_△ABF=$\frac{1}{2}$AF•BM，S_△BEC=$\frac{1}{2}$CE•BN可得AF=CE，于是可对④解析判断．

解答 解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，
同样可得S_△BEC=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，
∴S_△ABF=S_△BEC，所以①错误，②正确；
过点B作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，如图，
∵S_△ABF=$\frac{1}{2}$AF•BM，S_△BEC=$\frac{1}{2}$CE•BN，
而S_△ABF=S_△BEC，AF=CE，
∴BM=BN，
∴OB平分∠AOC，
即∠AOB=∠BOC，所以③正确；
当∠AOB=∠BOC，则BM=CN，
∵S_△ABF=$\frac{1}{2}$AF•BM，S_△BEC=$\frac{1}{2}$CE•BN，
而S_△ABF=S_△BEC，
∴AF=CE，所以④正确．
故答案为②③④．

点评 本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．