Question

18．如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点
（1）填空：∠BPC=120度；
（2）若点D在线段AP上，且DP=CP，求证：DA=PB．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理得∠BPC与∠BAC互补；
（2）连结CD．先证得△PCD为等边三角形，得出∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，然后证明△ACD≌△BCP，即可求得AD=PB．．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，
∴四边形ABPC是圆的内接四边形
∴∠BPC+∠BAC=180°，
∴∠BPC=120°，
故答案为120；
（2）连结CD．
∵AB=AC=BC，
∴∠APB=∠APC=60°，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCP}\\{CP=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCP，
∴AD=PB．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理以及等边三角形的性质，是一个综合题，难度较大．