Question

若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x₁，x₂，且x₁＜x₂，有下列结论：
①x₁=2，x₂=3；②m＞-

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；③当m＞0时，x₁＜2＜3＜x₂；④二次函数y=（x-x₁）（x-x₂）+m图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中一定成立的结论是（　　）

• A、①③④
• B、②③④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项④中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．

解答：解：一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：x²-5x+6-m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x₁、x₂，
∴b²-4ac=（-5）²-4（6-m）=4m+1＞0，
解得：m＞-

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4

，故选项②正确；
∵一元二次方程实数根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=5，x₁x₂=6-m，
而选项①中x₁=2，x₂=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；
二次函数y=（x-x₁）（x-x₂）+m=x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂+m=x²-5x+（6-m）+m=x²-5x+6=（x-2）（x-3），
令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，
解得：x=2或3，
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项④正确．
当m＞0时，转化为（x-2）（x-3）＞0的不等式，解得x₁＜2＜3＜x₂
故选项③
综上所述，正确的结论有3个：②③④．
故选B．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题．