Question

13．如图，将边长为$2+\sqrt{2}$的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转45°至AB′C′D′，若CD和B′C′相交于点E，则CE=2．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得AC=$\sqrt{2}$（2+$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$+2，∠ACD=∠BAC=45°，再利用旋转的性质得∠BAB′=45°，AB′=AB=2+$\sqrt{2}$，∠AB′C′=∠B=90°，于是可判断点B′在AC上，所以CB′=AC-AB′=$\sqrt{2}$，然后利用△ECB′为等腰直角三角形易得CE=$\sqrt{2}$CB′=2．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AC=$\sqrt{2}$（2+$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$+2，∠ACD=∠BAC=45°，
∵正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转45°至正方形AB′C′D′，
∴∠BAB′=45°，AB′=AB=2+$\sqrt{2}$，∠AB′C′=∠B=90°，
∴点B′在AC上，
∴CB′=AC-AB′=2$\sqrt{2}$+2-2-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∵∠ECB′=45°，
∴△ECB′为等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CB′=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2．
故答案为2．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．