Question

4．如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥AB于点E，点D在OC的延长线上，且∠B=∠D=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB=6$\sqrt{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OA，如图，根据圆周角定理得∠AOC=2∠B=60°，再根据三角形内角和定理可计算出∠OAD=90°，从而可根据切线的判定定理得到AD是⊙O的切线；
（2）根据垂径定理，由OC⊥AB得到AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，然后在Rt△OAE中利用∠AOE的正弦可计算出OA的长．

解答 （1）证明：连接OA，如图，
∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°，
而∠D=30°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠D=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）∵OC⊥AB，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，
在Rt△OAE中，∵sin∠AOE=$\frac{AE}{AO}$，
∴OA=$\frac{3\sqrt{3}}{sin60°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=6，
即⊙O的半径为6．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理和解直角三角形．