Question

9．已知如图，点O为△ABD的外心，点C为直径BD下方弧BCD上一点，且不与点B，D重合，∠ACB=∠ABD=45°，则下列对AC，BC，CD之间的数量关系判断正确的是（　　）

• A． AC=BC+CD
• B． $\sqrt{2}$AC=BC+CD
• C． $\sqrt{3}$AC=BC+CD
• D． 2AC=BC+CD

Answer 1

分析 在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，证明△ABC≌△ADE，得到△EAF是等腰直角三角形即可得出结论．

解答 解：在CD的延长线上截取DE=BC，连接EA，
∵∠ABD=∠ACB=∠ABD=45°，
∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABC=∠ADE}\\{BC=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴$\sqrt{2}$AC=CE，
∴$\sqrt{2}$AC=CD+DE=CD+BC，
故选：B．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理、全等三角形的判定定理和性质定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．