Question

18．如图，一次函数y=mx+2m+3的图象与y=-$\frac{1}{2}$x的图象交于点C，且点C的横坐标为-3，与x轴、y轴分别交于点A、点B．
（1）求m的值与AB的长；
（2）若点Q为线段OB上一点，且 S_△OCQ=$\frac{1}{4}$S_△BAO，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点C的横坐标代入正比例函数解析式，求得点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值，从而得到一次函数的解析式，则易求点A、B的坐标，然后根据勾股定理即可求得AB；
（2）由S_△OCQ=$\frac{1}{4}$S_△BAO得到OQ的长，即可求得Q点的坐标．

解答 解：（1）∵点C在直线$y=-\frac{1}{2}x$上，点C的横坐标为-3，
∴点C坐标为（-3，$\frac{3}{2}$），
又∵点C在直线y=mx+2m+3上，
∴$-3m+2m+3=\frac{3}{2}$，
∴$m=\frac{3}{2}$，
∴直线AB的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x+6$，
令x=0，则y=6，令y=0，则$\frac{3}{2}$x+6=0，解得x=-4，
∴A（-4，0）、B（0，6），
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=$2\sqrt{13}$；
（2）∵${S_{△COQ}}=\frac{1}{4}{S_{△BAO}}$，
∴$\frac{3•OQ}{2}=\frac{1}{4}×\frac{4×6}{2}$，
∴OQ=2，
∴点Q坐标为（0，2）．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题、待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的应用、三角形的面积公式等知识，综合性较强，值得关注．