Question

11．在平面直角坐标系中，函数y₁=$\frac{12}{x}$（x＞0），y₂=$\frac{-3}{x}$（x＜0）的图象如图所示，点A，B分别是y₁=$\frac{12}{x}$（x＞0），y₂=$\frac{-3}{x}$（x＜0）图象上的点，连接OA，OB．
（1）若OA与x轴所成的角为45°，求点A的坐标；
（2）如图1，当∠AOB=90°，求$\frac{OA}{OB}$的值；
（3）设函数y₃=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象与y₁=$\frac{12}{x}$（x＞0）的图象关于x轴对称，点B的横坐标为-2，过点B作BE⊥x轴，点F是y轴负半轴上的一个动点，函数y₃=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上是否存在一点G，使以点O、F、G为顶点的三角形与△OBE相似？如果存在，求出点F的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设A（a，b），根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出ab=12，进而得出a=b=2$\sqrt{3}$，就可求得A的坐标；
（2）过A、B分别作y轴的垂线，垂足为C、D，通过证得△AOC∽△OBD，然后根据相似三角形的性质即可求得；
（3）分四种情况分别讨论求得．

解答 解：（1）设A（a，b），
∵OA与x轴所成的角为45°，
∴a=b，
∵点A在y₁=$\frac{12}{x}$（x＞0）图象上，
∴ab=12，
∵a=b=2$\sqrt{3}$，
∴A点的坐标为（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）；

（2）如图1，过A、B分别作y轴的垂线，垂足为C、D，
∵∠AOB=90°，
∴∠COB+∠AOD=90°，
∵∠CBO+∠COB=90°，
∴∠CBO=∠AOD，
∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△AOC∽△OBD，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OBD}}}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{2}×12}{\frac{1}{2}×3}}$=2；

（3）∵点B的横坐标为-2，
∴B（-2，$\frac{3}{2}$），
∵函数y₃=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象与y₁=$\frac{12}{x}$（x＞0）的图象关于x轴对称，
∴y₃=$\frac{-12}{x}$，（x＞0），
设G（a，-$\frac{12}{a}$），
①当∠OFG=90°，∠OGF=∠OBE时，如图2①，
∴△OBE∽△GOF，
∴$\frac{a}{\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{12}{a}}{2}$，解a=3，
∴-$\frac{12}{a}$=-4，
∴F（0，-4）；
②当∠OFG=90°，∠OFG=∠OBE时，如图2①，
∴△OBE∽△GOF，
∴$\frac{\frac{12}{a}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{a}{2}$，解得a=4，
∴-$\frac{12}{a}$=-3，
∴F（0，-3）；
③当∠OGF=90°，∠GOF=∠OBE时，如图2②，
∴△OBE∽△OGH，
∴$\frac{\frac{12}{a}}{2}$=$\frac{a}{\frac{3}{2}}$，
∴a=3，
∴G（3，-4）
∵GH²=OH•FH，
∴FH=$\frac{9}{4}$，
∴OF=4+$\frac{9}{4}$=$\frac{25}{4}$，
∴F（0，-$\frac{25}{4}$）；
④当∠OGF=90°，∠FOG=∠OBE时，如图2②
∴△OBE∽△GHO，
∴$\frac{\frac{12}{a}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{a}{2}$，解得a=4，
∴G（4，-3）
∵GH²=OH•FH，
∴FH=$\frac{16}{3}$，
∴OF=3+$\frac{16}{3}$=$\frac{25}{3}$，
∴F（0，-$\frac{25}{3}$）；

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，分类讨论思想的运用是解题的关键．