Question

19．如图，以△ABC边AB为直径的⊙O交AC于点D，点F在DC上，BF交⊙O于点E，BE=EF，∠BAC=2∠CBF，CG⊥BF于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠C=60°，GC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接AE，根据圆周角定理求得∠AEB=90°，然后根据垂直平分线的性质求得AB=AF，根据等腰三角形三线合一的性质求得∠BAE=∠FAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，从而求得∠BAE=∠FAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，即可求得∠BAE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=90°，即可证得结论；
（2）根据已知求得CF=4，设AB=AF=x，z则AC=x+4，通过∠C的正弦函数即可求得AB，继而求得⊙O的半径．

解答 （1）证明：连接AE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵BE=EF，
∴AB=AF，
∴∠BAE=∠FAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=2∠CBF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABF=∠CBF+∠ABF=90°，
即∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵FG⊥BC，∠C=60°，
∴∠CFG=30°，
∴CF=2CG=4，
∵AF=AB，
设AB=AF=x，z则AC=x+4，
∵∠C=60°，
∴sin∠C=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{x}{x+4}$，解得x=8$\sqrt{3}$+12，
∴AB=8$\sqrt{3}$+12，
∴⊙O的半径为（4$\sqrt{3}$+6）．

点评 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定，直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．