Question

17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B、点C分别在x轴的负半轴和正半轴上，OB、OC的长分别是方程x²-5x+6=0的两根（OB＞OC），△ABC为等腰三角形，且AB=BC．
（1）求点A的坐标；
（2）点D在底边AC上一点，且直线OD将△AOC平分成面积相等的两部分，求直线OD的解析式；
（3）平面内是否存在点P，使以O、C、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出方程的根，可得OB=3，OC=2，AB=BC=5，利用勾股定理求出OA，即可解决问题．
（2）由题意可知D是AC中点，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决．
（3）存在．有三种情形如图所示．

解答 解：（1）由x²-5x+6=0，解得x=2或3，
由题意OB=3，OC=2，
∵AB=BC=OB+OC=2+3=5，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴点A坐标（0，4）．

（2）∵OD将△AOC分成面积相等的两部分，
∴AD=DC，
∵A（0，4），C（2，0），
∴D（1，2）．
设直线OD的解析式为y=kx，则2=1•k，
∴k=2，
∴直线OD的解析式为y=2x．

（3）如图，

①当OD为平行四边形的对角线时，
∵线段OD的中点坐标为（$\frac{1}{2}$，1），P₁与C关于（$\frac{1}{2}$，1）对称，
∴P₁（-1，2）．
②当CD为平行四边形的对角线时，
∵CD的中点坐标（$\frac{3}{2}$，1），P₂与O关于点（$\frac{3}{2}$，1）对称，
∴P₂（3，2）．
③当OC为平行四边形的对角线时，
∵OC的中点为（1，0），P₃与D关于（1，0）对称
∴P₃（1，-2）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（-1，2）或（3，2）或（1，-2）．

点评 本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．