Question

6．已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A，D不重合，过点P作PE⊥CP，交边AB于点E，设PD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 只要证明△AEP∽△DPC，得$\frac{AE}{DP}$=$\frac{AP}{DC}$，可得y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，利用配方法求出x取何值时，y的最大值，结合题意可得x的取值范围．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，∠A=∠D=∠EPC=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，∠AEP+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△AEP∽△DPC，
∴$\frac{AE}{DP}$=$\frac{AP}{DC}$，
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{3-x}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
∴x=$\frac{3}{2}$时y的最大值为$\frac{9}{8}$，
∵$\frac{9}{8}$＜2，
∴x的取值范围为0＜x＜3．
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x（0＜x＜3）．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活应用二次函数的性质解决自变量的取值范围，属于中考常考题型．