Question

2．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段0D上一点，连接EC，作BF⊥CE于点F，交0C于点G．若AB=4，BF是∠DBC的角平分线，则OE的长为4-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用BF是∠DBC的角平分线求得∠EBF=∠CBF，结合BF=BF，∠BFE=∠BFC=90°，可证明△BEF≌△BCF（ASA），所以BE=BC=4，根据Rt△BOC中对应的比例关系和三角函数可求得BO=2$\sqrt{2}$，所以OE=BE-BO=4-2$\sqrt{2}$．根据△BOG≌△COE可知OG=OE=4-2$\sqrt{2}$．

解答 解：∵BF是∠DBC的角平分线，
∴∠EBF=∠CBF，
∵BF⊥CE，
∴∠BFE=∠BFC=90°，
在△BEF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠CBF}\\{BF=BF}\\{∠BFE=∠BFC}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BCF（ASA），
∴BE=BC=4，
∵在Rt△BOC中，cos∠OBC=$\frac{BO}{BC}$，
即cos45°=$\frac{BO}{BC}$，
∴BO=BC•cos45°=2$\sqrt{2}$，
∴OE=BE-BO=4-2$\sqrt{2}$，
故答案为：4-2$\sqrt{2}$．

点评 主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．要掌握正方形中一些特殊的性质：四边相等，四角相等，对角线相等且互相平分．可利用这些等量关系求得三角形全等是解题的关键．