Question

11．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=12cm，半径为4cm的⊙O与AB、AC两边都相切，与BC交于点D、E．点P从点A出发，沿着边AB向终点B运动，点Q从点B出发，沿着边BC向终点C运动，点R从点C出发，沿着边CA向终点A运动．已知点P、Q、R同时出发，运动速度分别是1cm/s、xcm/s、1.5cm/s，运动时间为ts．
（1）求证：BD=CE；
（2）若x=3，当△PBQ∽△QCR时，求t的值；
（3）设△PBQ关于直线PQ对称的图形是△PB'Q，求当t和x分别为何值时，点B′与圆心O恰好重合．

Answer 1

分析 （1）作辅助线连接AO并延长交BC于点H．连接OE、OD．由等腰三角形三线合一得出OH平分ED．再由CE=CH-EH，BD=BH-DH，即可得出BD=CE．
（2）在Rt△ABC中，易得出BC的值，利用△PBQ∽△QCR，得出$\frac{BP}{CQ}$=$\frac{BQ}{CR}$，列出关于t的式子，即可求出t的值．
（3）设⊙O与AB相切于点M，作辅助线连接AO并延长交BC于点H．连接OM、OB、OP、OQ，由点O与点B关于PQ对称，PQ垂直平分BO．可得OP=BP，OQ=BQ．又⊙O与AB相切于点M，可得出OM⊥AB．设BP=a，在Rt△OMP中，利用勾股定理即可得出a=5；由（1）可得AH是△ABC的高，BH，OH的值，设BQ=b，在Rt△OHB中，利用勾股定理即可得出b的值，即可得出t的值；由x=BQ÷3求解即可．

解答 证明：（1）如图1，连接AO并延长交BC于点H．连接OE、OD．

∵⊙O与AB、AC两边都相切，
∴点O到AB、AC两边的距离相等．
∴AH是∠CAB的平分线．
∵AB=AC，
∴AH⊥BC，AH平分BC．
∵OE=OD，OH⊥ED，
∴OH平分ED．
∵CE=CH-EH，BD=BH-DH，
且CH=BH，EH=DH，
∴BD=CE．
（2）解：在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{122+122}$=12$\sqrt{2}$．
∵△PBQ∽△QCR，
∴$\frac{BP}{CQ}$=$\frac{BQ}{CR}$，即$\frac{12-t}{12\sqrt{2}-3t}$=$\frac{3t}{1.5t}$．解得t=$\frac{24\sqrt{2}-12}{5}$．
（3）解：设⊙O与AB相切于点M，连接AO并延长交BC于点H．连接OM、OB、OP、OQ，

∵点O与点B关于PQ对称，
∴PQ垂直平分BO．
∴OP=BP，OQ=BQ．
∵⊙O与AB相切于点M，
∴OM⊥AB．
设BP=a，在Rt△OMP中，（12-4-a）²+4²=a²，解得a=5；
∵由（1）可得AH是△ABC的高，
∴BH=$\frac{12}{\sqrt{2}}$=$6\sqrt{2}$，OH=2$\sqrt{2}$，
设BQ=b，在Rt△OHB中，（6$\sqrt{2}$-b）²+（2$\sqrt{2}$）²=b²，解得b=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$．
t=$\frac{12-5}{1}$=7s；x=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$÷7=$\frac{10\sqrt{2}}{21}$cm．

点评 本题主要考查了圆的综合题，涉及等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用对称的图形的性质．