Question

17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A，B为圆心，大于$\frac{1}{2}$AB长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结CD，BE，下列结论错误的是（　　）

• A． AD=CD
• B． BE＞CD
• C． ∠BEC=∠BDC
• D． BE平分∠CBD

Answer 1

分析 根据题意可知DE是AB的垂直平分线，由此即可得出△AEB是等腰三角形，由Rt△ABC中点D是AB的中点，可得△ACD和△BCD均为等腰三角形，据此作出判断．

解答 解：由题可得，DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，AD=BD，故A选项正确；
∵Rt△ABC中，点D是AB的中点，
∴CD=AD，
∵DE⊥AB，
∴Rt△ADE中，AE＞AD，
∴BE＞CD，故B选项正确；
∵∠BEC是等腰△ABE的外角，
∴∠BEC=2∠A，
∵∠BDC是等腰△ACD的外角，
∴∠BDC=2∠A，
∴∠BEC=∠BDC，故C选项正确；
∵当∠A=30°时，∠ABE=30°=∠CBE，
∴当∠A=30°时，BE平分∠ABC，
而∠A不一定为30°，
∴BE不一定平分∠CBD，故D选项错误．
故选：D．

点评 本题考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识的运用，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．