Question

如图，直线y=

4

3

x-4交x轴于点A，交y轴于点B，交双曲线y=

a

x

于点D．DC⊥x轴，垂足为点C，S_△OAB：S_△OCD=2：1．
（1）求a的值；
（2）DC的长．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：代数几何综合题,数形结合

分析：（1）先确定直线y=

4

3

x-4与坐标轴的交点坐标，即A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，-4），则可计算出S_△OAB=6，于是得到S_△OCD=3，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义即可得到a的值；
（2）直线y=

4

3

x-4与双曲线y=

a

x

联立得到D点坐标，即可得到DC的长．

解答：解：（1）∵把x=0代入y=

4

3

x-4，解得y=-4；
把y=0代入y=

4

3

x-4得

4

3

x-4=0，解得x=3，
∴A点坐标为（0，-4），B点坐标为（3，0），
∴S_△OAB=

1

2

×3×4=6，
∵S_△OAB=2S_△OCD，
∴S_△OCD=3，
∴

1

2

|a|=3，
而a＞0，
∴a=6．

（2）直线y=

4

3

x-4与双曲线y=

a

x

联立可得

y= 4 3 x-4 y= 6 x

，
解得

x= 3-3 3 2 y=-2 3 -2

或

x= 3+3 3 2 y=2 3 -2

，
则D点坐标为（

3+3 3

2

，2

3

-2），
则DC的长是2

3

-2．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了反比例函数的比例系数的几何意义．