Question

2．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，以OC为半径的⊙O与CD交于点M，且∠BAC=∠DAM．
（1）求证：AM与⊙O相切；
（2）若AM=$\sqrt{10}$DM，BC=3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OM．欲证明AM是⊙O的切线，只要证明AM⊥OM即可；
（2）设⊙O半径为r，由△ABC∽△ADM，可得$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BC}{DM}$，推出AB=9，在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，在Rt△AOM中，根据AM²+OM²=OA²列出方程即可解决问题；

解答 （1）证明：连接OM．
在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°
∴∠BAC=∠DCA，
∵OM=OC，
∴∠OMC=∠OCM．
∵∠BAC=∠DAM，
∴∠DAM=∠OMC．
∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA．
在△DAM中，∠D=90°，
∴∠DAM+∠DMA=180°-90°=90°．
∴∠OMC+∠DMA=90°．
∴∠AMO=90°，
∴AM⊥MO．点M在⊙O上，OM是⊙O的半径，
∴AM与⊙O相切．　
（2）设⊙O的半径为r．
 在Rt△ADM中，∵AD=BC=3，AM=$\sqrt{10}$，
∴DM=$\sqrt{A{M}^{2}-A{D}^{2}}$=1，
∵∠BAC=∠DAM，∠B=∠D=90°，
∴△ABC∽△ADM，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BC}{DM}$，
∴AB=9，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
在Rt△AOM中，∵AM²+OM²=OA²，
∴（$\sqrt{10}$）²+r²=（3$\sqrt{10}$-r）²，
∴r=$\frac{4}{3}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查切线的判定、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．