Question

【题目】如图，AC为圆O的直径，弦AD的延长线与过点C的切线交于点B，E为BC中点，AC= ，BC=4.

（1）求证：DE为圆O的切线；

（2）求阴影部分面积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）S阴影=4-2π

【解析】

（1）根据斜边中线等于斜边一半得到DE=CE,再利用切线的性质得到∠BCO=90°,最后利用等量代换即可证明,（2）根据S阴影=2S△ECO-S扇形COD即可求解.

（1）连接DC、DO.

因为AC为圆O直径，

所以∠ADC=90°，则∠BDC=90°，

因为E为Rt△BDC斜边BC中点，

所以DE=CE=BE=BC，

所以∠DCE=∠EDC,

因为OD=OC，

所以∠DCO=∠CDO.

因为BC为圆O 切线，

所以BC⊥AC，即∠BCO=90°，

所以∠ODE=∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠DCE=∠BCO=90°，

所以ED⊥OD，

所以DE为圆O的切线.

（2）S阴影=2S△ECO-S扇形COD=4-2π