题目内容
12．在正方形ABCD中，点P在射线AB上，连结PC，PD，M，N分别为AB，PC中点，连结MN交PD于点Q．（1）如图1，当点P与点B重合时，求∠QMB的度数；
（2）当点P在线段AB的延长线上时．
①依题意补全图2
②小聪通过观察、实验、提出猜想：在点P运动过程中，始终有QP=QM．
小聪把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1延长BA到点E，使AE=PB．要证QP=QM，只需证△PDA≌△ECB．
想法2：取PD中点E，连结NE，EA．要证QP=QM只需证四边形NEAM是平行四边形．
想 法3：过N作NE∥CB交PB于点E，要证QP=QM，只要证明△NEM∽△DAP．
…
请你参考上面的想法，帮助小聪证明QP=QM．（一种方法即可）
分析 （1）如图1中，连结AC．只要证明MN∥AC，即可推出∴BMN=∠BAC=45°．
（2）①根据条件画出图形即可．
②想法1延长BA到点E，使AE=PB．要证QP=QM，只需证△PDA≌△ECB．
想法2：取PD中点E，连结NE，EA．要证QP=QM，只需证四边形NEAM是平行四边形．
想 法3：过N作NE∥CB交PB于点E，要证QP=QM，只要证明△NEM∽△DAP．
解答 解：（1）如图1中，连结AC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D AB=90°，
∴∠C AB=45°，
∵点 M，N 是 AB，BC 中点，
∴MN∥AC，
∴∠NMB=∠C AB=45°，
∴∠QMB=∠C AB=45°，
（2）①图象如图所示，
②想法1：如图2-1中，延长BA 到点E，使AE=PB
∴BE=AP，
∵正方形ABCD，
∴∠PAD=∠EBC=90°，AD=BC，
∴△PDA≌△ECB，
∠DPA=∠E，
又点M 是AB 中点，AM=MB，又AE=BP，
∴AM+EA=MB+BP，
∴EM=MP，
∴M是EP中点，
∴MN是△EPC的中位线，
∴MN∥EC，
∴∠E=∠NMP，
∴∠NMP=∠DPA即∠QMP=∠QPM，
∴QM=QP．
想法2：如图2-2中，取PD 中点E，连结NE，EA
∵E，N分别是PD，PC，
∴EN∥CD，EN=$\frac{1}{2}$CD，
又CD∥AB，CD=AB，
∴EN∥AB且EN=$\frac{1}{2}$AB，
∴EN=AM，
∴四边形是NEAM是平行四边形，
∴EA∥MN，
∴∠EAB=∠NMB，
又点E是Rt△DAP斜边DP中点，
∴AE=EP，
∴∠EAB=∠EPA，
∴∠NMB=∠EPA，
∴QM=QP．
想法3：如图2-3中，过N 作 NE∥CB 交PB 于点 E，
∵CB⊥AB，
∴NE⊥AP，
又∵N 是 PC中点，
∴NE 是△CBP的中位线，
∴NE=$\frac{1}{2}$BC，
又点E是B P中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BP，MB=$\frac{1}{2}$AB，
∴ME=$\frac{1}{2}$AP，
∴$\frac{ME}{AP}$=$\frac{NE}{DA}$=$\frac{1}{2}$，
∠NEM=∠DAP=90°，
∴△NEM∽△DAP，
∴∠EMN=∠APD，
∴QM=QP．
点评 本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、三角形的中位线定理．直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
优翼小帮手同步口算系列答案
| A． | 4π | B． | 2π | C． | 4 | D． | π |
在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）| A． | 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 | |
| B． | 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 | |
| C． | 若BD=CD，则四边形AEDF是菱形 | |
| D． | 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形 |