Question

3．小夏是个数学谜，他不仅被书中的数学知识所吸引，而且爱探究为什么有这些数学知识，在这种“研究为什么”的精神支配下，他对数学思想中的“证明”饶有兴趣！
最近，他证明了平行线间距离处处相等，并用这个定理证明了直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方！（先以直角三角形的三边向外构造正方形，这样每边的平方可看作正方形的面积，最后用了平行线间距离处处相等定理得以解决．）请大家也来试一试
1）如图1，直线a∥b，A、B为a上任意两点，AC⊥b于C，BD⊥b于D，求证：AC=BD
2）如图2，△ABC中，∠BAC=90°，四边形ABED、ACGF、BCIH均为正方形（四边相等，四个角都是直角），AM⊥HI交BC于N，连结AH、CE
求证：①△EBC≌△ABH
②正方形ABED的面积=四边形BNMH的面积
③AB²+AC²=BC²．

Answer 1

分析 （1）先利用垂直于同一条直线的两直线平行，进而得出四边形ABDC是平行四边形，即可；
（2）①先判断出∠CBE=∠HBA，即可得出△EBC≌△ABH，得出结论；
②先判断出四边形BHMN是矩形，由全等三角形的面积相等即可得出结论；
③由②得出正方形ABED的面积=四边形BHMN面积，同理，正方形ACGF的面积=四边形CIMN的面积，最后用面积的合计可得出结论．

解答 证明：（1）∵AC⊥b于C，BD⊥b于D，
∴AC∥BD，
∵a∥b，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD；

（2）①∵四边形ABED，BCIH是正方形，
∴AB=BE，BC=BH，∠ABE=∠CBH=90°，
∴∠ABC+∠ABE=∠ABC+∠CBH，∴∠CBE=∠HBA，
在△EBC和△ABH中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=AB}\\{∠CBE=∠HBA}\\{BC=BH}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△ABH（SAS）；

②∵四边形BCIH是正方形，
∴∠CBH=∠BHI=90°，
∵AM⊥HI，
∴∠AMH=90°=∠CBH=∠BHI=90°，
∴四边形BHMN是矩形，
由①知，△EBC≌△ABH，
∴S_△EBC=S_△ABH，
∵S_△EBC=$\frac{1}{2}$BE•AB=$\frac{1}{2}$AB²，S_△ABH=$\frac{1}{2}$BH•BN，
∴AB²=BH•BN，
∵S_{正方形ABED}=AB²，S_矩形BNMH=BH•BN，
∴S_{正方形ABED}=S_矩形BNMH，
即：正方形ABED的面积=四边形BNMH的面积；

（3）如图，
连接BG，AI，同②的方法，得出S_{正方形ACGF}=S_矩形CIMN，
∴S_{正方形ABED}+S_{正方形ACGF}=S_矩形BHMN+S_矩形CIMN=S_{正方形BCIH}，
∵S_{正方形ABED}=AB²，S_{正方形ACGF}=AC²，S_{正方形BCIH}=BC²，
∴AB²+AC²=BC²．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，矩形的判定，矩形，正方形的面公式，解（1）的关键是判断出AC∥BD，解（2）①的关键是判断出∠CBE=∠HBA，解（2）②的关键是S_△EBC=$\frac{1}{2}$BE•AB=$\frac{1}{2}$AB²，S_△ABH=$\frac{1}{2}$BH•BN，解（2）③的关键是得出正方形的面积，是一道基础题目．