Question

20．如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD平分线上一点，过点E作EM⊥AC于点M，EN⊥AD于点N，BE=CE．
（1）请你在不添加辅助线的情况下写出一对你认为全等的三角形，并加以证明；
（2）若AB=8，AC=10，求AM的长度．

Answer 1

分析 （1）在△EAN和△EAM中可利用AAS证明其全等；
（2）由条件可证明△ENB≌△EMC，可求得AC=NB，则可求得NA，结合（1）可求得AM．

解答 解：
（1）△EAN≌△EAM，
证明如下：
∵EA平分∠CAD，
∴∠EAN=∠EAM，
∵EM⊥AC，EN⊥AD，
∴∠ENA=∠EMA=90°，
在△EAN和△EAM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAN=∠EAM}\\{∠ENA=∠EMA}\\{AE=AE}\end{array}\right.$
∴△EAN≌△EAM（AAS）；
（2）由（1）可知EN=EM，
在Rt△△ENB和Rt△EMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EN=EM}\\{EB=EC}\end{array}\right.$
∴Rt△ENB≌Rt△EMC（HL），
∴AC=NB=10，
∴NA=BN-AB=10-8=2，
又由（1）可知AM=NA，
∴AM=2．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．