题目内容
8．
在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′=$\left\{\begin{array}{l}{b，a≥1}\\{-b，a＜1}\end{array}\right.$，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）．
（1）①点$（{\sqrt{3}，1}）$的限变点的坐标是（$\sqrt{3}$，1）；
②在点A（-2，-1），B（-1，2）中有一个点是函数$y=\frac{2}{x}$图象上某一个点的限变点，这个点是点B；
（2）若点P在函数y=-x+3（-2≤x≤k，k＞-2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是-5≤b′≤2，求k的取值范围5≤k≤8；
（3）若点P在关于x的二次函数y=x2-2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s=m-n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围s≥2．
分析 （1）①直接根据限变点的定义直接得出答案；
②点（-1，-2）在反比例函数图象上，点（-1，-2）的限变点为（-1，2），据此得到答案；
（2）根据题意可知y=-x+3（x≥-2）图象上的点P的限变点必在函数y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，x≥1}\\{x-3，-2≤x＜1}\end{array}\right.$的图象上，结合图象即可得到答案；
（3）首先求出y=x2-2tx+t2+t顶点坐标，结合t与1的关系确定y的最值，进而用m和n表示出s，根据t的取值范围求出s的取值范围．
解答 解：（1）①根据限变点的定义可知点$（{\sqrt{3}，1}）$的限变点的坐标为（$\sqrt{3}$，1）；
②（-1，-2）限变点为（-1，2），即这个点是点B．
（2）依题意，y=-x+3（x≥-2）图象上的点P的限变点必在函数y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，x≥1}\\{x-3，-2≤x＜1}\end{array}\right.$的图象上．
∴b′≤2，即当x=1时，b′取最大值2．
当b′=-2时，-2=-x+3．
∴x=5．
当b′=-5时，-5=x-3或-5=-x+3．
∴x=-2或x=8．
∵-5≤b′≤2，
由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．
（3）∵y=x2-2tx+t2+t=（x-t）2+t，
∴顶点坐标为（t，t）．
若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．
若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m=t；
当x＜1时，y的值小于-[（1-t）2+t]，即n=-[（1-t）2+t]．
∴s=m-n=t+（1-t）2+t=t2+1．
∴s关于t的函数解析式为s=t2+1（t≥1），
当t=1时，s取最小值2，
∴s的取值范围是s≥2．
故答案为（$\sqrt{3}$，1）； 点B；5≤k≤8；s≥2．
点评 本题主要考查了二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握新定义“限变点”，解答此题还需要掌握二次函数的性质以及最值的求解，此题有一定的难度．
| A． | -2 | B． | $-\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | 2 |
如图，PA、PB与⊙O相切于A、B两点，C为优弧$\widehat{AB}$上一点，若tan∠ACB=2，则sin∠APB的值为（ ）| A． | $\frac{3}{5}$ | B． | $\frac{4}{5}$ | C． | $\frac{5}{12}$ | D． | $\frac{\sqrt{5}}{5}$ |