Question

17．如图，PA、PB与⊙O相切于A、B两点，C为优弧$\widehat{AB}$上一点，若tan∠ACB=2，则sin∠APB的值为（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{5}{12}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 连接AB，过A作AD⊥PB于D，作直径BE，连接AE，由切线的性质和圆周角定理得到∠PBA+∠ABE=90°，∠E+∠ABE=90°，求出∠E=∠C，求出∠E=∠PBA，解直角三角形求出即可．

解答 解：连接AB，过A作AD⊥PB于D，作直径BE，连接AE，
∵PB为⊙O的切线，
∴BE⊥PB，
∴∠PBA+∠ABE=90°，
∵BE为直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠E+∠ABE=90°，
∴∠E=∠ABP，
∵∠E=∠C，
∴∠C=∠ABP，
∵tan∠ACB=2，∴设AD=2x，则BD=x，
∵PA、PB与⊙O相切于A、B两点，
∴PA=PB，
在R_t△APD中，PA²=PD²+AD²，
∴PA²=（PA-x）²+（2x）²，
∴PA=$\frac{5}{2}$x，
∴sin∠APB=$\frac{AD}{PA}$=$\frac{2x}{\frac{5}{2}x}$=$\frac{4}{5}$．
故选B．

点评 本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形的应用，锐角三角函数，辅助线的作法是解题的关键．