Question

4．已知：在直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），点C是线段AB的中点，CD⊥OB交OB于点D，Rt△EFH的斜边EH在射线AB上，顶点F在射线AB的左侧，EF∥OA．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度向点B运动，到点B停止．AE=EF，运动时间为t（秒）．
（1）在Rt△EFH中，EF=t，EH=$\frac{5}{3}$t；F（$\frac{4}{5}$t，6-$\frac{8}{5}$t）（用含有t的代数式表示）
（2）当点H与点C重合时，求t的值．
（3）设△EFH与△CDB重叠部分图形的面积为S（S＞0），求S与t的关系式；
（4）求在整个运动过程中Rt△EFH扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）作EM⊥OA垂足为M，由△EFH∽△AOB，得$\frac{EF}{AO}$=$\frac{EH}{AB}$，可以求出EH，由EM∥OB，得$\frac{AM}{AO}$=$\frac{EM}{OB}$=$\frac{AE}{AB}$，可以解决点F坐标．
（2）根据AE+EH=AC，列出方程即可解决．
（3）分三种情形：①如图2中，FH与CD交于点M，当$\frac{15}{8}$≤t$≤\frac{15}{4}$时，②如图3中，$\frac{15}{4}$＜t≤5时，S=S_△CDB=6，③如图4中，当5＜t≤10时，画出图象求出重叠部分面积即可．
（4）如图5中，在整个运动过程中Rt△EFH扫过的面积=S_△AFH=$\frac{1}{2}$•FH•（AO+BF），由此即可计算．

解答 解：（1）如图1中，作EM⊥OA垂足为M，

∵AE=EF=t，AO=6，BO=8，∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∵∠AOB=∠EFH=90°，∠EHF=∠ABO，
∴△EFH∽△AOB，
∴$\frac{EF}{AO}$=$\frac{EH}{AB}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{EH}{10}$，
∴EH=$\frac{5}{3}$t，
∵EM∥OB，
∴$\frac{AM}{AO}$=$\frac{EM}{OB}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴AM=$\frac{3}{5}$t，EM=$\frac{4}{5}$t，
∴点F坐标（$\frac{4}{5}$t，6-$\frac{8}{5}$t）．
故答案分别为：t，$\frac{5}{3}$t，$\frac{4}{5}$t，6-$\frac{8}{5}$t．
（2）如图2中，当点H与点C重合时，

AE+EH=AC，
∴t+$\frac{5}{3}$t=5，
∴t=$\frac{15}{8}$，
∴t=$\frac{15}{8}$时，点H与点C重合．
（3）当点H与点B重合时，AE+EH=AB，
∴t+$\frac{5}{3}$t=10，
∴t=$\frac{15}{4}$，
当点E与点C重合时，t=5，
当点E与点B重合时，t=10，
①如图2中，FH与CD交于点M，当$\frac{15}{8}$≤t$≤\frac{15}{4}$时，
∵CH=EH-EC=EH-（AC-AE）=$\frac{5}{3}$t-5+t=$\frac{8}{3}$t-5．CM=$\frac{3}{5}$CH=$\frac{8}{5}$t-3，MH=$\frac{4}{5}$CH=$\frac{32}{15}$t-4，
∴S=$\frac{1}{2}$•CM•MH=$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{5}$t-3）（$\frac{32}{15}$t-4）=$\frac{128}{75}$t²-$\frac{32}{5}$t+6．
②如图3中，$\frac{15}{4}$＜t≤5时，S=S_△CDB=6，

③如图4中，当5＜t≤10时，

∵EB=AB-AE=10-t，EM=$\frac{3}{5}$EB=6-$\frac{3}{5}$t，BM=$\frac{4}{5}$EB=8-$\frac{4}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•EM•MB=$\frac{1}{2}$•（6-$\frac{3}{5}$t）（8-$\frac{4}{5}$t）=$\frac{6}{25}$（10-t）²．
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{128}{75}{t}^{2}-\frac{32}{5}t+6}&{（\frac{15}{8}≤t≤\frac{15}{4}）}\\{6}&{（\frac{15}{4}＜t≤5）}\\{\frac{6}{25}（10-t）^{2}}&{（5＜t≤10）}\end{array}\right.$．
（3）如图5中，在整个运动过程中Rt△EFH扫过的面积=S_△AFH=$\frac{1}{2}$•FH•（AO+BF）=$\frac{1}{2}$•$\frac{40}{3}$•16=$\frac{320}{3}$．

点评 本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质，勾股定理、分段函数等知识，解题的关键是正确画出图象，学会分类讨论的思想，应用的知识比较多，属于中考压轴题．