Question

4．如图，在坐标系中，A（0，6），B（-2，0），C（3，0），∠BAC=45°，BD⊥AC，M（4，0），动点P从点M出发，沿x轴正方向，以每秒2个单位长度运动t秒
（1）求D点坐标；
（2）连接PD、PE，设△PDE的面积为S，用t的代数式表示S
（3）点F为直线AC上一点，点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△PCF与△AED全等？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用面积法求出AD=BD=2$\sqrt{5}$，再由DN∥AO得$\frac{DN}{AO}=\frac{CN}{CO}=\frac{CD}{CA}$，得CN=1，DN=2，由此即可解决问题．
（2）根据s=S_△PDE-S_△PEB即可解决问题．
（3）分两种情形讨论：①如图当△P₁F₁C≌△ADE，②当△F₂P₂C≌△ADE分别求出PC即可解决问题．

解答 解：（1）作DN⊥OC于N，
在RT△AOC中，AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵∠BAD=45°，∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD
∵$\frac{1}{2}$•BC•OA=$\frac{1}{2}$•AC•BD，
∴BD=$\frac{BC•AO}{AC}$=2$\sqrt{5}$，
∵DN∥AO，
∴$\frac{DN}{AO}=\frac{CN}{CO}=\frac{CD}{CA}$，
∴CN=1，DN=2，
∴点D坐标（2，2），
（2）∵EO∥DN，BO=ON，
∴BE=ED，OE=$\frac{1}{2}$DN=1，
s=S_△PDE-S_△PEB=$\frac{1}{2}$•（6+2t）•2-$\frac{1}{2}$•（6+2t）•1=t+3．
（3）①如图当△P₁F₁C≌△ADE时，P₁C=AE=5，
∴P₁M=4，t=2．
②当△F₂P₂C≌△ADE时，P₂C=ED=$\sqrt{5}$，
∴P₂M=$\sqrt{5}$-1，
∴t=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
综上所述t=2或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时，△PCF与△AED全等．

点评 本题考查坐标与图形的性质、勾股定理、全等三角形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解决问题的关键是利用面积法求出线段BD，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．