Question

8．已知：如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD于点E，且CE=CF．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD=CD=6，求图中弧BC与弦BC围成的阴影部分的面积（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据角平分线的判定即可得出∠CAE=∠CAB，由于OC=OA，从而可知∠CAB=∠OCA，所以∠CAE=∠OCA，所以OC∥AE，所以CE是⊙O的切线．
（2）分别求出△OBC与扇形OBC的面积即可求出阴影部分的面积．

解答 解：（1）连接OC，
∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE=CF，
∴∠CAE=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AE，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；

（2）∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，
∴DC∥AB，
∴四边形AODC是平行四边形，
又∵AD=DC，
∴?AODC是菱形，
∴AD=OC=6，
∵∠CAE=∠CAB，
∴$\widehat{CD}=\widehat{CB}$，
∴CD=CB=6，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠COB=60°，CF=3$\sqrt{3}$，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$OB•CF=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，
S_扇形OBC=$\frac{60×π×{6}^{2}}{360}$=6π
∴S_阴影=S_扇形OBC-S_△OBC=6π-9$\sqrt{3}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及切线的判定，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式等知识，综合程度较高，属于中等题型．