Question

5．如图，正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB边上，BF=2AF，H在BC延长线上，且CH=AF，连接DF，DE，DH．
（1）求证DF=DH；
（2）求∠EDF的度数并写出计算过程．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可．
（2）利用勾股定理得出Rt△DFG和Rt△EFG中，有FG²=DF²-DG²=EF²-EG²，求得DG=DF，进而解答即可．

解答 （1）证明∵正方形ABCD的边长为6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠A=∠B=∠ADC=∠DCE=90°．
∴∠DCH=180°-∠DCE=90°，∠A=∠DCH．
在△ADF和△CDH中，$\left\{\begin{array}{l}AD=CD\\∠A=∠DCH\\ AF=CH\end{array}\right.$

∴△ADF≌△CDH．（SAS） 
∴DF=DH，
（2）连接EF，
∵△ADF≌△CDH
∴∠1=∠2．
∴∠FDH=∠FDC+∠2=∠FDC+∠1=∠ADC=90°．
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE=3．
∵点F在AB边上，BF=2AF，
∴CH=AF=2，BF=4．
∴EH=CE+CH=5．
在Rt△BEF中，∠B=90°，$EF=\sqrt{B{E^2}+B{F^2}}=\sqrt{{3^2}+{4^2}}=5$．
∴$\underline{EF=EH}$．②
又∵DF=DH，①
DE=DE，③
由①②③得△DEF≌△DEH．（SSS） 
∴$∠EDF=∠EDH=\frac{∠FDH}{2}=45°$．

点评 此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，利用了转化的数学思想方法．