Question

2．有一矩形纸片ABCD，其中AB=2，以AD为直径的半圆正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图2，则半圆露在外面的部分（阴影部分）的面积为$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，露在外面部分的面积可用扇形ODK与△ODK的面积差来求得，在Rt△A′DC中，可根据AD即圆的直径和CD即圆的半径长，求出∠DA′C的度数，进而得出∠ODH和∠DOK的度数，即可求得△ODK和扇形ODK的面积，由此可求得阴影部分的面积．

解答 解：作OH⊥DK于H，连接OK，
∵AB=2，
∴AD=A′D=4，CD=2，
∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，

∴AD=2CD，
∴A'D=2CD，
∵∠C=90°，
∴∠DA'C=30°，
∴∠ODH=30°，
∴∠DOH=60°，
∴∠DOK=120°，
∴扇形ODK的面积为$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π，
∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=2，
∴OH=1，DH=$\sqrt{3}$cm；
∴DK=2$\sqrt{3}$cm，
∴△ODK的面积为$\sqrt{3}$，
∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了折叠问题，圆的切线的性质，矩形的性质，掌握直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度是解决问题的关键．