Question

9．在平面直角坐标系中，AC为∠BAO的角平分线，CD∥AB，且CD平分∠ACO．
（1）求∠B的大小；
（2）点E为第二象限内一动点，若∠AEO，∠ABO的平分线相交于点F，且∠EFB=20°，问：
①∠EOB-∠BAE不变；②∠EOB+∠BAE不变，选择①，②中正确的结论证明．

Answer 1

分析 （1）AC为∠BAO的角平分线，CD平分∠ACO，得到∠OAC=∠CAB=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠ACD=∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACO，根据平行线的性质得到∠CAB=∠ACD，于是得到∠OCA=2∠ACD=∠OAB，根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和和三角形外角的性质得到∠OEF=∠BOE+$\frac{1}{2}$∠ABO-∠EFB=∠BOE-5°，于是得到∠AEO=2∠OEF=2∠BOE=10°，推出∠AEO=∠ABO+∠BAE+∠BOE=30°+∠BAE+∠EOB，即可得到结论．

解答 （1）解：AC为∠BAO的角平分线，CD平分∠ACO，
∴∠OAC=∠CAB=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠ACD=∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACO，
∵CD∥AB，
∴∠CAB=∠ACD，
∴∠OCA=2∠ACD=∠OAB，
∵∠OCA=∠CAB+∠B，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠OAB，
∵∠B+∠OAB=90°，
∴∠B=30°；

（2）解：①∠EOB-∠BAE不变是正确的；理由如下：
∵∠AEO，∠ABO的平分线相交于点F，
∴∠OEF=∠BOE+$\frac{1}{2}$∠ABO-∠EFB=∠BOE-5°，
∵∠AEO=2∠OEF=2∠BOE=10°，
∴∠AEO=∠ABO+∠BAE+∠BOE=30°+∠BAE+∠EOB，
∴∠EOB-∠BAE=40°．

点评 本题考查了三角形的内角和，坐标与图形的关系，三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．