Question

如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4

2

，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为（　　）

• A、10π
• B、9π
• C、6π
• D、8π

Answer 1

考点：扇形面积的计算

专题：计算题

分析：连结OC、BE、BD．作BH⊥CD于H，由于AB=BC，CD=DE，则弧AB=弧BC，弧CD=弧DE，所以∠AOB=∠BOC，∠COD=∠DOE，则∠BOD=90°，S_阴影=

1

2

S_半圆，根据圆周角定理得∠BED=

1

2

∠BOD=45°，再利用圆内接四边形的性质得∠BCH=∠BED=45°，可判断△BCH为等腰直角三角形，则BH=CH=

2

2

BC=4，所以DH=CD+CH=8，在Rt△BDH中，根据勾股定理可计算出BD=4

5

，在Rt△BOD中，OB=

2

2

BD=2

10

，然后利用S_阴影=

1

2

S_半圆进行计算．

解答：解：连结OC、BE、BD．作BH⊥CD于H，如图，
∵AB=BC=4

2

，CD=DE=4，
∴弧AB=弧BC，弧CD=弧DE，
∴∠AOB=∠BOC，∠COD=∠DOE，
∴∠BOD=90°，S_阴影=

1

2

S_半圆，
∴△BOD为等腰直角三角形，
∴∠BED=

1

2

∠BOD=45°，
∴∠BCH=∠BED=45°，
∴△BCH为等腰直角三角形，
∴BH=CH=

2

2

BC=

2

2

×4

2

=4，
∴DH=CD+CH=4+4=8，
在Rt△BDH中，BD=

BH2+DH2

=4

5

，
在Rt△BOD中，OB=

2

2

BD=2

10

，
∴S_阴影=

1

2

S_半圆=

1

2

×

1

2

×π×（2

10

）²=10π．
故选A．

点评：本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S_扇形=

nπR

360

或S_扇形=

1

2

lR（其中l为扇形的弧长）．也考查了弧、圆心角和弦的关系、圆内接四边形的性质和等腰直角三角形的性质．