题目内容
【题目】阅读下列材料，然后解答问题．
经过正四边形(即正方形)各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．
如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2．以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON＝90°．将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O交于点E、F，分别与正方形ABCD的边交于点G、H．设由OE、OF、
及正方形ABCD的边围成的图形(阴影部分)的面积为S．
（1）当OM经过点A时(如图①)，则S、S1、S2之间的关系为： (用含S1、S2的代数式表示)；
（2）当OM⊥AB于G时(如图②)，则(1)中的结论仍然成立吗？请说明理由；
（3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论任然成立吗：请说明理由.
【答案】（1）
；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）结合正方形的性质及等腰直角三角形的性质，容易得出结论；
（2）仍然成立，可证得四边形OGHB为正方形，则可求出阴影部分的面积为扇形OEF的面积减去正方形OGBH的面积；
（3）仍然成立，过O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分别为R、S，则可证明△ORG≌△OSH，可得出四边形ORBS的面积=四边形OGBH的面积，再利用扇形OEF的面积减正方形ORBS的面积即可得出结论．
试题解析：（1）当OM经过点A时由正方形的性质可知：∠MON=90°，
∴S△OAB=
S正方形ABCD=
S2，S扇形OEF=
S圆O=
S1，
∴S=S扇形OEF-S△OAB=
S圆O-
S正方形ABCD=
S1-
S2=
（S1-S2），
（2）结论仍然成立，理由如下：
∵∠EOF=90°，
∴S扇形OEF=
S圆O=
S1
∵∠OGB=∠EOF=∠ABC=90°，
∴四边形OGBH为矩形，
∵OM⊥AB，
∴BG=
AB=
BC=BH，
∴四边形OGBH为正方形，
∴S四边形OGBH=BG2=（
AB）2=
S2，
∴S=S扇形OEF-S四边形OGBH=
S1-
S2=
（S1-S2）；
（3）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵∠EOF=90°，
∴S扇形OEF=
S圆O=
，
过O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分别为R、S，
由（2）可知四边形ORBS为正方形，
∴OR=OS，
∵∠ROS=90°，∠MON=90°，
∴∠ROG=∠SOH=90°-∠GOS，
在△ROG和△SOH中，
，
∴△ROG≌△SOH（ASA），
∴S△ORG=S△OSH，
∴S四边形OGBH=S正方形ORBS，
由（2）可知S正方形ORBS=
S2，
∴S四边形OGBH=
S2，
∴S=S扇形OEF-S四边形OGBH=
（S1-S2）．
