Question

11．如图，抛物线y=ax²+2x-6与x轴交于点A（-6，0），B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线BD与抛物线交于点D，点D与点C关于该抛物线的对称轴对称．
（1）连接CD，求抛物线的表达式和线段CD的长度；
（2）在线段BD下方的抛物线上有一点P，过点P作PM∥x轴，PN∥y轴，分别交BD于点M，N．当△MPN的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标，根据平行于x轴直线上两点间的距离是较大的小横坐标减较的横坐标，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得BD的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得E点坐标，根据等腰三角形的性质，可得∠OBE=∠OEB=45°，根据平行线的性质，可得∠PMN=∠PNM=45°，根据直角三角形的判定，可得∠P，根据三角形的面积公式，根据二次函数的性质，可得a的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）将A点坐标代入函数解析式，得
36a-12-6=0．
解得a=$\frac{1}{2}$，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+2x-6；
当x=0时y=-6．即C（0，-6）．
当y=-6时，-6=$\frac{1}{2}$x²+2x-6，
解得x=0（舍），x=-4，即D（-4，-6）．
CD=0-（-4）=4，
线段CD的长为4；
（2）如图，
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²+2x-6=0．解得x=-6（不符合题意，舍）或x=2．
即B（2，0）．
设BD的解析式为y=kx+b，将B、D点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{-4k+b=-6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
BD的解析式为y=x-2，
当x=0时，y=-2，即E（0，-2）．
OB=OE=2，∠BOE=90°
∠OBE=∠OEB=45°．
∵点P作PM∥x轴，PN∥y轴，
∴∠PMN=∠PNM=45°，∠NPM=90°．
∵N在BD上，设N（a，a-2）；P在抛物线上，设P（a，$\frac{1}{2}$a²+2a-6）．
PN=a-2-（$\frac{1}{2}$a²+2a-6）=-$\frac{1}{2}$a²-a+4=-$\frac{1}{2}$（a+1）²+$\frac{9}{2}$，
S=$\frac{1}{2}$PN²=$\frac{1}{2}$[-$\frac{1}{2}$（a+1）²+$\frac{9}{2}$]²，
当a=-1时，S_最大=$\frac{1}{2}$×（$\frac{9}{2}$）²=$\frac{81}{8}$，
a=-1，$\frac{1}{2}$a²+2a-6=-$\frac{15}{2}$，
点P的坐标为（-1，-$\frac{15}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数的解析式；利用等腰直角三角形的判定得出△PMN是等腰直角三角形是解题关键，又利用了平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标．