Question

19．如图，已知△ABC和△ADC是以AC为公共底边的等腰三角形，E、F分别在AD和CD上，已知∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC=2∠EBF．
（1）求证：EF=AE+FC；
（2）若点E、F在直线AD和CD上，则是否有类似的结论？

Answer 1

分析 （1）首先证明∠DAC=∠DCB=90°，将△BCF绕点B逆时针旋转得到△BAM，只要证明△EBF≌△EBM，即可解决问题．
（2）分两种情形画出图形，写出结论即可．

解答 （1）证明：∵DA=DC，BA=BC，
∴∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，
∴∠DAB=∠DCB，
∵∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠DAB=∠DCB=90°，
将△BCF绕点B逆时针旋转得到△BAM．

∵∠EBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ABE+∠FBC=∠ABE+∠ABM=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠EBM=∠EBF，
在△EBF和△EBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=EB}\\{∠EBM=∠EBF}\\{BM=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△EBM，
∴EF=EM，
∵EM=AE+AM=AE+CF，
∴EF=AE+CF．

（2）有类似的结论：①如图2中，当E在AD延长线时，F在DC延长线上时，EF=AE-CF．

②如图3中，当E在DA延长线时，F在CD延长线上时，EF=CF-AE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，注意图形发生改变，结论类似，这类题目属于中考常考题型．