Question

5．如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“立根方程”．以下关于立根方程的说法：
①方程x²-4x-12=0是立根方程；
②若点（p，q）在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，则关于x的方程px²+4x+q=0是立根方程；
③若一元二次方程ax²+bx+c=0是立根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax²+bx+c上，则方程ax²+bx+c=0的其中一个根是$\frac{5}{4}$．
正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ②
• C． ③
• D． ②③

Answer 1

分析 ①求出方程的两个实数根进行判断即可；
②根据根与系数的关系进行判断即可；
③由方程ax²+bx+c=0是倍根方程，得到x₁=3x₂，由相异两点M（1+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax²+bx+c上，通过抛物线对称轴求得x₁的值

解答 解：①解方程x²-4x-12=0得，x₁=-2，x₂=6，
∵6≠3×（-2），
∴此方程不是立根方程，故①错误；
②∵点（p，q）在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，
∴pq=3．
∴方程px²+4x+q=0中，x₁•x₂=$\frac{q}{p}$=3，
∴关于x的方程px²+4x+q=0是立根方程，故②正确；
③∵方程ax²+bx+c=0是立根方程，
∴设x₁=3x₂，
∵相异两点M（1+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴抛物线的对称轴x=$\frac{1+t+4-t}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴x₁+x₂=5，
∴x₁+3x₁=5，
∴x₁=$\frac{5}{4}$，
故③正确．
综上所述，正确的个数是2个．

点评 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．