Question

17．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD：BD=2：3，则△ACD与△CBD的相似比为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 分别根据直角三角形的性质和相似三角形的性质直接解答即可．

解答 解：∵AD：BD=2：3，
∴设AD=2x，BD=3x，则AB=5x．
∵△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D
∴△BCD∽△BAC
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BC}{BD}$，
∴BC²=BD•AB=15x²，
∴在直角△ABC中，由勾股定理得到：AC²=AB²-BC²=10x²．
又∵△ACD∽△CBD，
∴（$\frac{AC}{BC}$）²=$\frac{10{x}^{2}}{15{x}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
则该相似三角形的相似比是：$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案是：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，解此题的关键是要知道直角三角形斜边上的高把这个三角形分得的两个小三角形，与原三角形相似．